La surface balayée par une hélice est celle du disque que les pales décrivent en tournant : S = π × R², où R est le rayon en bout de pale. Comme le pied de pale se trouve à une certaine distance de l'axe, la surface réellement balayée est un peu plus petite : S = π × (R² − r²), où r est le rayon de pied de pale. C'est la grandeur de référence d'une hélice ou d'une turbine, car elle détermine la quantité de fluide que le rotor traverse.

Au sommaire :

• Formule de la surface balayée par l'hélice
• Surface réellement balayée
• Surface couverte par les pales
• Rapport de surface couverte et vitesse de rotation optimale
• Pourquoi la surface balayée fixe la puissance

1 : Formule de la surface balayée par l'hélice

Le plan de rotation P de l'hélice : le disque balayé par les pales s'y trouve.

P représente le plan de rotation de l'hélice. Le disque balayé par les pales se trouve sur ce plan, et la surface balayée, ou disque balayé, vaut :

• surface balayée = π × (rayon en bout de pale)², avec π ≈ 3,14.

Le rayon est en mètres, la surface en mètres carrés. Pour une hélice de 2 m de diamètre, par exemple, le rayon vaut 1 m et le disque 3,14 m².

2 : Surface réellement balayée

La surface réellement balayée par l'hélice est en réalité plus petite, car le pied de pale est généralement placé à une certaine distance du centre de l'hélice : au centre, le moyeu occupe la place.

• surface réellement balayée = π × (rayon en bout de pale)² − π × (rayon en pied de pale)².

Avec le même exemple (rayon en bout de pale 1 m) et un rayon de pied de pale de 0,1 m, la surface réellement balayée vaut π × (1² − 0,1²), soit 3,11 m². L'écart est faible pour un petit moyeu, mais il grandit vite avec le rayon de pied de pale, puisqu'il varie avec son carré.

Le panneau d'Heliciel sous le graphique des cordes : surface des pales (0,9 m² ici), surface balayée (2,5 m²) et leur rapport (0,34).

3 : Surface couverte par les pales

La surface développée d'une pale est la somme des surfaces moyennes des éléments de la pale. Chaque surface moyenne se calcule d'après la corde moyenne de l'élément :

• corde moyenne de l'élément = (corde du profil de base de l'élément + corde du profil de bout de l'élément) / 2 ;
• distance entre éléments = (rayon en bout de pale − rayon en pied de pale) / nombre d'éléments ;
• surface moyenne de l'élément = (corde moyenne de l'élément) × (distance entre éléments).

La surface couverte par l'hélice est la somme des surfaces des pales :

• surface couverte par l'hélice = somme des surfaces moyennes des éléments × nombre de pales.

Chaque élément se comporte ici comme un petit trapèze, de largeur la corde moyenne et de hauteur la distance entre deux profils. Heliciel additionne ces trapèzes sur toute la pale, puis multiplie par le nombre de pales.

4 : Rapport de surface couverte et vitesse de rotation optimale

Le rapport de surface couverte compare la surface couverte par les pales à la surface balayée : une hélice à pales étroites en couvre peu, une hélice à pales larges et nombreuses en couvre beaucoup. Ce rapport exerce une contrainte déterminante sur la vitesse de rotation optimale. Un des facteurs clés qui limitent la vitesse de rotation est en effet l'interaction entre les pales : une pale travaille dans le sillage de la précédente. Optimiser la vitesse de rotation de l'hélice passe donc par la recherche du nombre de pales optimal.

Le fluide passe entre les pales : selon la vitesse de rotation, le vent apparent arrive trop rapide, adapté, ou nul pour le profil.

5 : Pourquoi la surface balayée fixe la puissance

Pour une éolienne ou une hydrolienne, la puissance du fluide qui traverse le disque vaut P = ½ × ρ × S × V³, avec ρ la masse volumique du fluide (kg/m³), S la surface balayée (m²) et V la vitesse du fluide (m/s). Le rotor ne capte qu'une part de cette puissance : au mieux 16/27, soit environ 59 %, selon la limite de Betz. Doubler la surface balayée double donc la puissance disponible, et doubler le diamètre la multiplie par quatre.

Pour une hélice propulsive, la théorie du disque donne la relation inverse. À poussée T donnée, la puissance minimale à fournir au fluide vaut T × √(T / (2 × ρ × S)), formule de la théorie du disque actuateur (hélice idéale, sans pertes). Plus la surface balayée est grande, moins il faut de puissance pour la même poussée : c'est la raison pour laquelle un grand rotor lent surpasse un petit rotor rapide à la même poussée.

Pour aller plus loin, nous pouvons voir comment Heliciel décompose la pale en éléments dans la page sur la géométrie d'une hélice, ou régler le nombre de pales et la vitesse de rotation avec la page sur l'optimisation de la vitesse de rotation et du nombre de pales.