Les méthodes de calcul d'hélice se sont construites en quatre étapes : l'hélice vue comme une vis (avant 1865), la théorie de la quantité de mouvement de Rankine et Froude, la théorie de l'élément de pale de Froude et Drzewiecki, puis la théorie tourbillonnaire de Joukowski. Chaque étape corrige les limites de la précédente, et le calcul d'hélice moderne les combine toutes. Pour le récit complet, voyez aussi l'historique des méthodes de calcul des hélices.

Comme le veut la formule, nous nous asseyons sur les épaules de géants : inventer, c'est observer, mais aussi connaître ce que nos prédécesseurs ont observé. Prenons donc un peu de hauteur et de temps pour parcourir ce résumé. L'histoire plus générale de l'hélice et de son calcul fait l'objet d'un article à part.

Au sommaire :

• L'hélice vue comme une vis (avant 1865)
• Rankine, Froude et la théorie de la quantité de mouvement
• Froude, Drzewiecki et la théorie de l'élément de pale
• Joukowski et la théorie tourbillonnaire de l'hélice
• Comparer les méthodes de calcul d'hélice
• Un exemple chiffré de chaque approche
• Pourquoi la théorie tourbillonnaire corrige les pertes de bout de pale
• Ce que ces méthodes changent pour le concepteur
• Les méthodes de calcul d'hélice retenues dans Heliciel

1 : L'hélice comme une vis : la première méthode de calcul

À l'origine, l'hélice était considérée comme une vis, qui progresse dans un fluide comme une vis dans le bois ou le métal. Pour cette dernière, l'avance par tour est exactement égale au pas de la vis.

On pensait donc que le rendement de l'hélice atteindrait 100 % : l'avance par tour serait égale au pas de l'hélice. Sans frottement, le travail qu'il faut pour tourner une vis est exactement celui qu'il faut pour soulever un poids, par exemple avec un vérin. De même, le travail fourni par le moteur pour faire tourner l'hélice équivaudrait au travail nécessaire pour « tirer » l'avion, toujours au frottement près.

Mais l'hélice ne se comporte pas ainsi. Le fluide « cède » derrière elle, de sorte que l'hélice « recule » par rapport à la position qu'elle occuperait si les fluides se comportaient comme des solides. Le travail utile par tour est le produit de la force de traction par l'avance réelle sur l'axe à chaque tour ; le rendement est donc inférieur à 1. Nous pouvons ainsi exprimer ce qui constitue, en quelque sorte, la première théorie de l'hélice.

2 : Théorie de la quantité de mouvement : Rankine (1865) et Froude (1889)

Rankine est allé plus loin. Il a établi en 1865 que l'action de l'hélice se caractérise essentiellement par l'accélération de la masse de fluide qui la traverse. Il en découle que la variation de la quantité de mouvement par unité de temps est égale à la poussée.

Rankine a aussi établi que l'accroissement de vitesse que l'hélice donne au fluide doit rester faible pour un bon rendement. En d'autres termes, il semblait avantageux d'augmenter indéfiniment le diamètre d'une hélice. C'est la théorie de la « quantité de mouvement ». Elle chiffre un rendement idéal, puisqu'elle fournit la poussée. En revanche, elle n'explique pas comment la poussée passe du fluide à l'hélice, ni, à l'inverse, comment la puissance du moteur passe à l'air par l'hélice.

Rankine a ensuite tenté d'y faire entrer la résistance de frottement des pales et l'interaction entre volumes voisins de l'hélice. C'est surtout Froude, en 1889, qui l'a enrichie. Puis Betz l'a fait progresser en introduisant la rotation du courant liée à l'hélice. Même ainsi améliorée, la théorie de la quantité de mouvement évalue avec précision la traction et le rendement, mais ne dit rien de la forme de pale correspondante.

3 : Théorie de l'élément de pale : Froude (1878) et Drzewiecki

Dès 1878, Froude avait entrevu une autre voie : la théorie de l'élément de pale, fondée sur la connaissance des forces que les pales exercent dans leur mouvement. Quelques années plus tard, Drzewiecki élabore dans sa « Théorie générale de l'hélice » la véritable théorie de l'élément de pale, que Froude n'avait fait qu'entrevoir.

La « géométrie » de la pale y apparaît enfin. La pale est découpée en un grand nombre d'éléments, perpendiculairement au rayon. Chaque élément est un profil qui avance à une vitesse résultant de la vitesse d'avancement et de la vitesse tangentielle.

Cette présentation suit le livre « L'hélice » de Jean Grampaix (éditions Argenson, Paris, 1966).

Couverture de la « Théorie générale de l'hélice, hélices aériennes et hélices marines », de S. Drzewiecki (Gauthier-Villars, Paris, 1920).

Dans l'avant-propos de sa « théorie générale de l'hélice », Drzewiecki expose la théorie de l'élément de pale. Voici l'essentiel de ce qu'il en dit.

• Sa théorie a aussi été étendue aux moulinets à air et a permis de prévoir des phénomènes nouveaux, que l'expérience a confirmés. Il remercie M. Eiffel et le laboratoire aérodynamique d'Auteuil pour les renseignements expérimentaux et les essais qui l'ont aidé à la parachever.
• Un doute subsistait malgré ses arguments : aucune expérience directe n'avait établi son hypothèse de base. Plusieurs savants, tout en acceptant ses idées pour le détail, continuaient à fonder la théorie de l'hélice sur la masse de fluide refoulée, assimilée à un cylindre ayant pour base le disque balayé par l'hélice.
• Pour lui, les deux conceptions s'excluent. Si l'aile de l'hélice agit comme une planchette sous incidence dans un courant, elle dévie une couche limitée de fluide, qui se déplace avec elle : il y aurait autant de flux que d'ailes, avec peu ou pas de perturbation entre elles. Dans la théorie opposée, le flux serait continu dans toute la section du cylindre.
• Les mesures faites jusque-là, en amont et en aval de l'hélice, semblaient donner raison au flux continu. Drzewiecki explique pourquoi : les anémomètres et les manomètres liquides du tube de Pitot ont de l'inertie. Ils ne suivent pas les changements rapides de vitesse au passage de chaque aile et n'indiquent qu'un régime moyen, alors que le mouvement réel est une suite de pulsations rapides.
• Il a donc construit un appareil sans effet d'inertie et l'a essayé au laboratoire Eiffel. L'expérience a réussi : le flux provoqué par une aile d'hélice se déplace avec cette aile, et le fluide entre deux ailes ne subit que peu de perturbation. L'hypothèse du flux cylindrique était ainsi écartée, et le succès de cet essai l'a encouragé à publier son étude.

4 : Théorie tourbillonnaire de l'hélice : Joukowski (1912), Prandtl, Goldstein

Après la théorie de l'élément de pale vient, en 1912, la théorie tourbillonnaire de l'hélice propulsive de Joukowski. Chaque pale y est assimilée à un tourbillon attaché, ou tourbillon de pale, dont la circulation varie le long de la pale. Cette variation produit une nappe de tourbillons libres, issus de chaque élément de pale. C'est une combinaison des deux théories précédentes, quantité de mouvement et élément de pale. Elle a été perfectionnée par les Allemands Betz et Helmbold, par von Karman et Bienen, par les Anglais Wood et Glauert, par l'Italien Pistolesi, par Lanchester, par Prandtl et par les Japonais Moriya et Kawada.

Cette théorie rejoint celle que nous décrivons pour l'aile, la théorie de la ligne portante de Prandtl.

Couverture du « Développement moderne de la théorie de l'hélice », de Raymond Siestrunck (Gauthier-Villars, 1947).

L'introduction de Raymond Siestrunck (1947) retrace la même histoire, avec davantage de détails. Voici ce que nous en retenons.

• Les premières méthodes (depuis Rankine, 1865) traitent l'hélice comme une turbine. La pale est une suite d'éléments, sans interaction entre eux. Le fluide arrive sur chaque élément avec une vitesse résultant de l'avancement et de la rotation, et l'élément dévie l'écoulement. Les théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique donnent alors la poussée et le couple de chaque élément, puis l'intégration le long de la pale donne les efforts totaux.
• D'autres méthodes appliquent à chaque élément les lois de la résistance des fluides, déterminées sur des éléments en translation uniforme. Ici se placent Redtenbacher (1875) et W. Froude (1878) ; Drzewiecki en donne l'exposé complet dans sa Théorie générale de l'hélice (Gauthier-Villars, 1920).
• La théorie de H.-E. Froude (1889) relie directement la poussée et la puissance motrice au sillage de l'hélice. Son analyse du sillage est incomplète : elle suppose une vitesse de souffle uniforme sur le disque balayé, ce qui revient à une discontinuité de pression de part et d'autre de ce disque.
• Joukowski (1912) relie enfin les théories précédentes. Les émissions tourbillonnaires jouent un rôle essentiel dans les échanges d'énergie, et la connaissance du sillage a beaucoup progressé depuis les expériences de Flamm (1909). Joukowski jette les bases de la théorie actuelle : on applique toujours à chaque élément les résultats expérimentaux des surfaces portantes, mais en tenant compte de l'interaction des autres éléments, dont l'émission tourbillonnaire induit des vitesses additionnelles sur toute la pale. Le lien entre vitesses induites et fonctionnement d'un élément passe par la circulation, qui caractérise sa portance, grâce au théorème qui porte aujourd'hui le nom du savant russe. Ses travaux ne portaient que sur des hélices à circulation constante le long de la pale, mais ils précèdent ceux de l'école de Göttingen (Prandtl et Betz). À sa mort, en 1921, le problème de l'hélice était entièrement posé.
• La suite fut plus difficile que pour l'aile. La théorie tourbillonnaire de l'hélice, bâtie sur le modèle de Prandtl pour l'aile portante, s'est heurtée à de plus grandes difficultés : les vitesses additionnelles produites dans le sillage ne s'évaluent pas simplement pour une hélice, et les difficultés mathématiques ont freiné la théorie. On a néanmoins mis au point des solutions approchées, soit pour déterminer la forme d'un propulseur répondant à des performances imposées (travail de Goldstein, 1929, solution rigoureuse du problème d'adaptation dans le domaine de validité de la théorie), soit pour le problème inverse, la détermination des performances d'un propulseur donné (calculs au moins aussi compliqués que ceux des ailes, Glauert, Lotz).

5 : Comparer les méthodes de calcul d'hélice : ce que chacune apporte, ce qu'elle ignore

Chaque étape de cette histoire répond à une question que la précédente laissait ouverte. Les voir côte à côte aide à comprendre pourquoi un logiciel moderne ne se contente d'aucune d'elles. Nous ne répétons pas ici le récit détaillé, que présente la page historique des méthodes de calcul des hélices ; nous les comparons par ce qu'elles permettent de prévoir.

• L'hélice-vis donne une avance théorique par tour, le pas. Elle suffit pour parler de glissement, mais elle ne prévoit ni la poussée ni le rendement, et elle ne tient aucun compte du fluide.
• La quantité de mouvement prévoit la poussée et le meilleur rendement possible pour une vitesse d'avance et un disque donnés. Elle traite l'hélice en boîte noire : elle ne dit rien de la corde, du calage ni du profil. Vous ne pouvez donc pas dessiner une pale avec elle seule.
• L'élément de pale relie la forme de chaque section aux efforts qu'elle subit. C'est la première méthode qui permet de dessiner une pale. Elle suppose pourtant que chaque élément voit le fluide non perturbé, comme s'il était seul au monde.
• La théorie tourbillonnaire corrige cette hypothèse. Elle calcule la vitesse que les tourbillons du sillage ajoutent à celle de l'écoulement, et les pertes de bout de pale. Elle est plus lourde à mettre en équations, ce qui a longtemps limité son usage.

6 : Un exemple chiffré de chaque approche de calcul d'hélice

Les valeurs ci-dessous sont des exemples hypothétiques, choisis pour que les calculs se suivent à la main. Ce ne sont pas des résultats de mesure ni de logiciel.

Exemple 1, l'hélice-vis. Une hélice de pas géométrique 0,60 m tourne à 5 tours par seconde. Si elle se vissait dans un solide, elle avancerait de 0,60 × 5 = 3,0 m/s. Le bateau avance en réalité à 2,4 m/s. Son pas effectif vaut 2,4 / 5 = 0,48 m, et le glissement atteint (0,60 − 0,48) / 0,60 = 20 %. La vis ne nous dit pas pourquoi ce glissement vaut 20 % plutôt que 5 % : il faut pour cela la suite.

Exemple 2, la quantité de mouvement. Un disque d'hélice de 1 m² accélère de l'air (1,2 kg/m³) de 10 m/s, vitesse d'avance, à 14 m/s dans le sillage. La vitesse au travers du disque est la moyenne, soit 12 m/s. La poussée vaut T = ρ A V_d (V_e − V₀) = 1,2 × 1 × 12 × 4 = 57,6 N. Le rendement idéal est 2 × 10 / (10 + 14) = 0,83. Si nous voulons la même poussée avec un sillage moins accéléré, il nous faut un disque plus grand : c'est le message de Rankine.

Exemple 3, l'élément de pale. Prenons le profil situé à 0,50 m de l'axe d'une hélice qui tourne à 40 tours par seconde (2 400 tr/min) et avance à 30 m/s. Sa vitesse tangentielle vaut 2π × 40 × 0,50 ≈ 125,7 m/s. Le fluide arrive donc à √(125,7² + 30²) ≈ 129,2 m/s, sous un angle apparent atan(30 / 125,7) ≈ 13,4° par rapport au plan de rotation. Avec un calage de 18°, l'incidence vaut environ 4,6°. Les polaires du profil donnent alors le Cz et le Cx (Cl et Cd), donc la portance et la traînée de l'élément, que nous projetons en poussée et en couple. Il reste à répéter ce calcul sur chaque élément de la pale.

Exemple 4, la théorie tourbillonnaire. Elle ajoute à l'exemple 3 une vitesse induite par les tourbillons, qui change l'angle apparent de chaque élément. Le principe est celui de l'aile d'envergure finie et de sa ligne portante. Sur les ailes simulées par Heliciel que présente cette page, l'allongement 4 donne une finesse de 16 et l'allongement 18 une finesse de 32 : les tourbillons de bout d'aile pèsent d'autant plus que l'aile est courte. Une pale d'hélice, longue et étroite, suit la même logique.

7 : Pourquoi la théorie tourbillonnaire corrige les pertes de bout de pale

Sur l'intrados d'une pale, la pression est plus forte que sur l'extrados. Au bout de la pale, rien ne sépare les deux faces : le fluide contourne l'extrémité pour égaliser la pression. La différence de pression, qui fait la poussée, s'annule donc en bout de pale. La poussée réelle y est plus faible que celle que prévoit un calcul qui traiterait chaque élément isolément.

L'élément de pale seul ignore ce contournement. Il attribue au dernier élément la même portance que s'il était au milieu d'une pale infinie, et il surestime ainsi la poussée. La théorie tourbillonnaire, elle, représente le contournement par des tourbillons qui s'échappent du bout de pale et partent dans le sillage. Chacun induit sur les éléments voisins une vitesse qui modifie leur angle d'attaque, et donc leur portance. Le calcul rend alors compte de la chute de poussée vers l'extrémité.

Cet effet dépend du nombre de pales. Avec beaucoup de pales, le fluide a peu de place pour s'échapper entre elles. Avec peu de pales, il fuit davantage, et la perte grandit. Prandtl a résumé l'effet en un facteur de correction de bout de pale, que l'on applique à la poussée et au couple de chaque élément ; Goldstein a donné pour sa part la solution de la répartition de circulation optimale sur un nombre fini de pales. Nous n'avons pas de valeur universelle à vous donner : l'ampleur de la perte dépend du nombre de pales, du rayon et du point de fonctionnement.

8 : Ce que ces méthodes changent pour le concepteur d'une hélice

Pour la personne qui dessine une hélice, ces théories se traduisent en questions pratiques.

• Pour dimensionner le diamètre, la quantité de mouvement donne le bon ordre de grandeur : à poussée égale, une grande hélice qui accélère peu le fluide est plus efficace qu'une petite hélice qui l'accélère beaucoup.
• Pour choisir la corde, le calage et le profil, il faut l'élément de pale, car lui seul relie ces choix aux efforts.
• Pour juger de l'effet du nombre de pales et de la finesse du bout de pale, il faut les corrections tourbillonnaires. Une pale qui paraît bonne sans elles peut décevoir une fois les pertes de bout de pale comptées.
• Pour une hélice très chargée, par exemple au point fixe d'un drone, la quantité de mouvement simple ne tient plus ; c'est le domaine de la correction de Glauert.

Ces méthodes ne se contredisent pas : elles se complètent, et chacune s'applique mieux à une étape de la conception. Un résultat obtenu avec l'une d'elles reste un modèle, qui demande à être confronté à des mesures lorsque l'enjeu le justifie.

9 : Quelles méthodes de calcul d'hélice utilise Heliciel ?

Heliciel calcule l'hélice par la méthode des éléments de pale (BEM, Blade Element Momentum), couplée à la théorie de la variation de quantité de mouvement de Froude. Il intègre les pertes d'après la théorie tourbillonnaire de l'hélice, avec les corrections de Glauert ou de Goldstein pour les cas de charge où la théorie de Froude n'est plus valide.

Pour aller plus loin, nous pouvons détailler chaque étape dans les pages sur la théorie de la quantité de mouvement, la théorie de l'élément de pale d'une hélice de traction, la théorie de l'hélice et des ailes, ou consulter la bibliographie sur les hélices, éoliennes et ailes.