La théorie de la ligne portante de Prandtl explique pourquoi une aile d'envergure finie perd une partie de sa portance : l'air contourne ses extrémités et y forme des tourbillons qui rabattent le fluide vers le bas (le « downwash », ou vitesse induite). Cette théorie calcule cette vitesse induite en chaque point de l'envergure. Elle en déduit l'angle d'incidence que le profil subit réellement, et donc la portance et la traînée vraies de l'aile ou de la pale.

Au sommaire :

• Tourbillons de bout d'aile et pertes de portance
• Downwash, incidence induite et incidence effective
• Principe de la ligne portante de Prandtl
• Vitesse induite d'un tourbillon en fer à cheval
• Formule de la vitesse induite sur la ligne portante

Heliciel schématise ainsi la nappe tourbillonnaire et les pertes en bout d'aile. Les quatre ailes ci-dessous diffèrent par leur forme, leur envergure et leur allongement :

Aile rectangulaire de 2 mètres d'envergure. Allongement = 4, finesse (portance/traînée) = 16.	Aile rectangulaire de 9 mètres d'envergure. Allongement = 18, finesse (portance/traînée) = 32.
Aile pointue de 2 mètres d'envergure. Allongement = 5, finesse (portance/traînée) = 19.	Aile pointue de 9 mètres d'envergure. Allongement = 33, finesse (portance/traînée) = 36.

Plus l'allongement est grand, plus la finesse monte : c'est exactement ce que la théorie qui suit permet de chiffrer.

1 : Tourbillons de bout d'aile et pertes de portance en envergure finie

Nous avons vu, dans la page consacrée aux ailes et hydrofoils, que la portance et la traînée calculées avec les Cz et Cx 2D (Cl et Cd) sont des valeurs théoriques. Elles ignorent les phénomènes tourbillonnaires de l'aile finie, que nous abordons maintenant.

Ces tourbillons naissent de la différence de pression entre l'extrados (dépression) et l'intrados (surpression). Au bout de l'aile, l'air de l'intrados cherche à rejoindre l'extrados en contournant l'extrémité.

Vue de face d'une aile : surpression sous l'aile (signes +), dépression dessus (signes −), et le contournement de l'extrémité qui en résulte (flèches courbes).

C'est cette même différence de pression qui crée la portance. Nous pouvons donc en déduire que l'intensité des tourbillons, notée Γ (gamma), évolue avec la portance.

Animation : la portance de l'aile engendre des tourbillons qui s'enroulent derrière elle.

Ces tourbillons modifient la trajectoire du fluide autour de l'aile et induisent des composantes de vitesse dirigées vers le bas. Leur valeur dépend de l'intensité des tourbillons et de la distance à laquelle nous les observons.

Un avion vu en perspective puis de face : les tourbillons de chaque extrémité rabattent l'air vers le bas derrière l'aile.

2 : Downwash, angle d'incidence induite et angle effectif

Le calcul des vitesses induites redéfinit l'angle d'attaque effectif de chaque zone (élément) de l'aile. Avec cet angle, nous pouvons utiliser les performances 2D du profil pour calculer la portance (dL) et la traînée (dD) en tenant compte des tourbillons.

Comme la vitesse induite varie avec la portance et avec la distance au bout de l'aile, nous la calculons pour chaque élément de l'aile ou de la pale. La figure suivante montre la variation de l'angle effectif due à la vitesse induite au niveau du profil d'un élément.

Un profil d'envergure finie : la vitesse induite w, dirigée vers le bas, fait pivoter la vitesse vue par le profil (de V_∞ à V) et réduit l'incidence de α à α_eff.

• V_∞ est la vitesse en amont, prise à une distance considérée comme infinie, donc non perturbée par l'aile.
• w est la vitesse induite par les tourbillons. Elle est dirigée vers le bas ; nous la comptons donc négative.
• α est l'angle d'incidence géométrique.
• α_i est l'angle d'incidence induite.
• α_eff est l'angle d'incidence effectif, réellement perçu par le profil : α_eff = α − α_i.

Reste la question qui détermine les performances réelles de notre aile : comment calculer les vitesses induites et l'angle effectif ?

3 : Principe de la ligne portante de Prandtl, lois de Kutta-Joukowski, Helmholtz et Biot-Savart

Ludwig Prandtl a développé en 1918 la première méthode d'analyse d'une aile d'envergure finie. Il assimile tous les filaments tourbillonnaires attachés à l'aile à un seul filament, la « ligne portante ». Trois lois de la mécanique des tourbillons suffisent alors à calculer les vitesses induites.

• La loi de Kutta-Joukowski relie la force de portance (en newtons) à l'intensité Γ du tourbillon attaché sur un élément d'aile de longueur L (m), plongé dans un courant de vitesse V (m/s) et de masse volumique ρ (kg/m³) :
  • Portance = Γ · ρ · V · L
  • Γ = Portance / (ρ · V · L)

Pour mémoire, la portance 2D (en newtons) s'écrit : Portance = Cz · surface de l'élément · ρ · V²/2.

• D'après le théorème de Helmholtz, un tourbillon doit être fermé et ne peut pas finir dans le fluide. La portance d'un élément engendre donc un tourbillon d'intensité constante Γ, réparti le long d'une ligne qui forme une boucle fermée.

Le tourbillon fermé d'une aile en mouvement : tourbillon attaché le long de l'aile, deux tourbillons libres marginaux, et tourbillon de départ resté loin en aval.

En vol, le « tourbillon de départ », rejeté à l'infini aval, est assez loin de l'aile pour que nous négligions la vitesse qu'il induit : la vitesse induite par un tourbillon varie comme l'inverse de la distance à son axe. Il ne reste que les deux tourbillons libres marginaux et la vitesse descendante qu'ils font sentir à l'aile. Ils sont dits semi-infinis, car ils commencent au bout de l'élément et se prolongent à l'infini vers l'aval.

4 : Calcul de la vitesse induite d'un tourbillon en fer à cheval

Remplaçons la force de portance par une ligne de tourbillons attachés au centre de portance des profils (environ au quart de la corde). Elle se prolonge par deux tourbillons marginaux de même intensité Γ. Sans le tourbillon de départ, nous obtenons un système tourbillonnaire en fer à cheval.

La portance remplacée par une ligne de tourbillons attachés à 1/4 de la corde, prolongée par deux tourbillons marginaux.

Ce système en fer à cheval, d'intensité constante Γ équivalente à la portance, engendre des vitesses induites descendantes sous l'aile.

Vue arrière d'un avion : sous l'aile les vitesses induites sont descendantes (downwash) ; au-delà des extrémités elles deviennent montantes (upwash).

• La loi de Biot-Savart donne la vitesse induite w (m/s) en un point P situé à une distance h d'un tourbillon marginal semi-infini d'intensité Γ. La portance de l'élément, connue grâce au Cz du profil, fournit l'intensité : nous pouvons donc déterminer la vitesse induite −w au point P.

Un tourbillon semi-infini d'intensité Γ part du point A vers l'infini ; au point P, à la distance h, il induit une vitesse perpendiculaire au plan défini par A, P et le tourbillon.

w = − Γ / (4π h)

La vitesse w est négative, car elle est orientée vers le bas.

Vitesse induite par un seul système isolé. Plaçons le point P sur l'axe y, entre les deux tourbillons libres situés en −b/2 et +b/2 (b est l'envergure). La vitesse induite en y se compose de deux termes :

1. −Γ / [4π (b/2 + y)], contribution du tourbillon situé en y = −b/2 ;
2. −Γ / [4π (b/2 − y)], contribution du tourbillon situé en y = +b/2.

Le fer à cheval vu en perspective : tourbillons attachés entre −b/2 et +b/2, tourbillons libres vers l'aval, et la courbe w(y) de la vitesse induite, qui plonge vers les extrémités.

La vitesse induite en fonction de la position y, pour un système isolé, vaut donc :

• w(y) = − Γ / [4π (b/2 + y)] − Γ / [4π (b/2 − y)]
• ce qui équivaut à : w(y) = − Γ / (4π) · { b / [(b/2)² − y²] }

Dans cette dernière expression, la vitesse induite tend vers moins l'infini quand y s'approche d'une extrémité (y = b/2 ou y = −b/2). Cela ne peut pas représenter une aile réelle. Prandtl y remédie avec le concept de ligne portante.

5 : Formule de la vitesse induite et de l'incidence induite le long de la ligne portante

Le premier théorème de Helmholtz dit que l'intensité Γ d'un tourbillon isolé est constante et équivalente à la portance. Une portance qui varie, donc une intensité Γ qui varie, ne se représente pas par un seul système isolé. Or la portance varie bel et bien le long de l'envergure.

Distribution de la portance (et donc de Γ) le long de l'envergure : maximale au centre, elle décroît vers les extrémités.

Cette variation n'est possible que si des filaments tourbillonnaires, d'intensité égale à la variation d'intensité, s'ajoutent à l'aile ou la quittent.

Un tube tourbillonnaire d'intensité Γ (section A) se divise : un filament d'intensité ΔΓ part vers l'aval, et il reste Γ − ΔΓ dans la section B.

Une superposition de tourbillons permet donc de représenter la variation d'intensité associée à la portance de l'aile. En chaque point où la portance varie, il se forme un tourbillon d'intensité égale à cette variation.

Une ligne portante discrétisée en points A à F : à chaque saut de circulation (dΓ₁, dΓ₂, dΓ₃…) part un tourbillon libre vers l'infini aval.

Dans la réalité, cette nappe de tourbillons qui se forme aux bords de fuite se combine :

Vue de dessus : les filaments issus du bord de fuite s'enroulent les uns sur les autres.

Elle forme alors les deux tourbillons marginaux que l'on voit parfois, par exemple derrière un avion volant bas.

Photographie d'un avion vu de face : les tourbillons marginaux, rendus visibles par des traînées blanches, s'enroulent derrière chaque extrémité d'aile.

Comme la portance varie de façon continue et progressive, le nombre de tourbillons en fer à cheval d'intensité dΓ, superposés sur la ligne portante, est infini.

La ligne portante, de −b/2 à +b/2, avec la distribution de circulation Γ = Γ(y) et un tourbillon libre élémentaire dΓ issu du point y.

• L'intensité élémentaire dΓ du tourbillon en fer à cheval, qui correspond au segment dy de la ligne portante situé en y, vaut : dΓ = (∂Γ/∂y) · dy.
• Ce tourbillon libre d'intensité dΓ induit une vitesse dw au point y₀. La loi de Biot-Savart, rappelée ci-dessous, donne la vitesse induite par un tourbillon semi-infini.

Même figure que plus haut : w = Γ / (4π h) en valeur absolue.

Remplaçons Γ par (∂Γ/∂y) · dy et h par y₀ − y. La vitesse induite élémentaire au point y₀, produite par le tourbillon libre d'intensité dΓ qui passe en y, est :

dw = − (∂Γ/∂y) dy / [4π (y₀ − y)]

La vitesse totale induite en y₀ par toute la nappe de tourbillons libres, de −b/2 à +b/2, vaut :

w(y₀) = − 1/(4π) ∫_−b/2^+b/2 [(∂Γ/∂y) / (y₀ − y)] dy

Retour à la figure des angles : la vitesse induite w fixe l'angle d'incidence induite.

L'angle d'incidence induite α_i se déduit de cette vitesse :

α_i(y₀) = atan [ − w(y₀) / V_∞ ]

Heliciel applique cette démarche élément par élément. Il trouve ainsi l'incidence effective, puis les forces réelles de chaque tronçon, comme nous le décrivons dans la méthode de calcul d'Heliciel.

Références : « Aérodynamique subsonique » de Ion Paraschivoiu, éditions de l'École polytechnique de Montréal. Une description de la théorie de la ligne portante de Prandtl figure aussi sur le site de J. Haertig : http://j.haertig.free.fr/aerodyn_theorique/index.html, et notamment dans ce document PDF : Théorie de la ligne portante de Prandtl.

Pour aller plus loin, nous pouvons voir comment la même idée s'applique à une pale tournante dans la page sur la vitesse induite d'une hélice, ou revenir sur les généralités sur les ailes et hydrofoils.