Éolienne de 4 m : puissance, Cp et limite de Betz Sillage d'une éolienne et d'une hydrolienne en CFD Éolienne en CFD : cinq maillages comparés

Hélice de captage d'énergie : éolienne, hydrolienne et turbine hydroélectrique

Une hélice de captage d'énergie transforme l'énergie cinétique d'un courant de fluide en puissance sur son arbre : le fluide qui la traverse porte une puissance P = 0,5 × masse volumique × vitesse³ × surface du disque, et la limite de Betz n'en laisse capter que 16/27, soit environ 59 %. Ce principe est celui de l'éolienne, de l'hydrolienne, du moulin et de la turbine hydroélectrique. Air ou eau changent certaines contraintes, mais la conversion de l'énergie reste la même. Nous voyons ici l'énergie disponible, l'énergie que nous pouvons capter, puis la longueur de pale qui en découle.

L'énergie disponible L'énergie que nous pourrons capter éoliennes turbines et hydroliennes turbines hydroélectriques

Le captage de l'énergie des courants de fluide avec une hélice se rencontre dans de nombreux systèmes de production d'énergie et de force motrice.

Projet d'éoliennes intégrées dans un immeuble : hélices de captage d'énergie du ventHydrolienne à deux pales sous la surface de l'eau : hélice de captage de l'énergie du courantCaptage d'air chaud dessiné par Léonard de Vinci : une hélice dans une hotte entraîne un engrenageRoue à pales d'hélice d'une turbine hydroélectrique, hélice de captage de l'énergie de l'eau

De gauche à droite : éoliennes intégrées à un immeuble (projet), hydrolienne, dessin de Léonard de Vinci où l'air chaud d'une hotte entraîne une hélice, et roue d'une turbine hydroélectrique. Quatre époques, quatre fluides, un même principe.

Avant d'étudier ces machines en détail, nous faisons donc le point sur cette méthode de conversion de l'énergie.

1 : Énergie disponible : la puissance d'un courant de vent ou d'eau

Avant de se lancer dans le dessin de l'hélice, il faut évaluer le besoin en énergie et le comparer à l'énergie disponible sur le site d'implantation. Pour choisir la vitesse de vent de dimensionnement, nous pouvons aussi consulter les cartes de vent (wind map) d'Heliciel.

L'énergie tirée du fluide est de l'énergie cinétique, c'est-à-dire l'énergie de la vitesse d'un objet :

La puissance est la quantité d'énergie par seconde. En une seconde, la masse de fluide qui traverse l'hélice est égale au volume de fluide qui traverse le disque de l'hélice, multiplié par la masse volumique :

La puissance du fluide qui traverse une hélice se calcule donc ainsi :

Cette équation fait apparaître les acteurs de la puissance de notre hélice de captage, et leur poids relatif. La puissance est une fonction cubique de la vitesse : doubler la vitesse multiplie la puissance par huit. La surface du disque balayé par l'hélice est, après la vitesse, le meilleur indicateur de son potentiel.

Un exemple hypothétique, pour fixer les idées : dans de l'air de masse volumique 1,25 kg/m³, à 8 m/s, un disque de 10 m² est traversé par 0,5 × 1,25 × 8³ × 10 = 3 200 W. Dans de l'eau à 2 m/s, le même disque est traversé par 0,5 × 1 000 × 2³ × 10 = 40 000 W : une eau quatre fois plus lente que le vent porte pourtant douze fois et demie plus de puissance, parce qu'elle est environ 800 fois plus dense.

Puissance d'une éolienne en fonction du diamètre de l'hélice de captage : cercles concentriques de 27 m à 80 m

Puissance des éoliennes en fonction du diamètre de l'hélice, de 225 kW pour 27 m à 2 500 kW pour 80 m : plus le disque balayé est grand, plus la puissance est élevée.

2 : Énergie captable : limite de Betz et coefficient de puissance

Toute transformation d'énergie implique des pertes. La première perte, incontournable, tient à ceci : pour tirer toute la puissance de la vitesse du fluide, il faudrait lui enlever toute sa vitesse en traversant l'hélice. Mais le fluide qui entre dans l'hélice, si on l'arrête net, où le met-on ? Il faut bien qu'il soit évacué de l'autre côté de l'hélice, et suffisamment vite pour laisser la place au fluide qui arrive. Nous ne pouvons donc utiliser qu'une partie de la puissance du courant. Plus l'hélice enlève de vitesse au fluide, plus elle bouche le passage, et plus le fluide perd son énergie sans la transmettre à notre hélice.

Pour une explication plus mathématique, nous pouvons consulter la théorie de Froude, qui s'appuie sur la notion de quantité de mouvement.

Entre le cas où l'on n'enlève aucune vitesse au fluide et le cas où l'on bouche le passage, il existe un cas où l'on extrait le maximum d'énergie possible. Ce cas idéal correspond à une diminution d'un tiers de la vitesse du fluide, par rapport à sa vitesse en amont, au niveau du disque (le fluide a perdu les deux tiers de sa vitesse loin derrière l'hélice). Le maximum d'énergie récupérable, calculé et démontré par Betz, est de 16/27 de l'énergie du fluide : c'est la limite de Betz.

Pour de l'air de masse volumique 1,25 kg/m³, cela donne :

Pour de l'eau de masse volumique 1 000 kg/m³, cela donne :

Le rendement d'une transformation d'énergie s'évalue par le rapport entre la puissance obtenue après la transformation et la puissance disponible avant elle. Notre hélice transforme la puissance du fluide en puissance sur son arbre. La qualité de l'hélice se révèle par son coefficient de puissance (Cp), calculé ainsi :

Le Cp maximal théorique annoncé par Betz, soit 16/27 (environ 0,59), ne tient pas compte des pertes dues à la traînée des profils ni des pertes en bout de pale. En réalité, ces pertes font que les meilleures hélices ne dépassent pas 70 à 80 % de la limite de Betz. Cela ramène le Cp maximal espéré à 0,4 ou 0,5.

3 : Calcul de la longueur de pale d'une éolienne ou d'une hydrolienne

Si nous connaissons la vitesse du vent (ou du courant) et si nous estimons le rendement Cp, nous trouvons rapidement la surface du disque, donc la longueur de pale à donner à l'hélice pour fournir la puissance désirée :

Le disque est un cercle, de surface π × longueur de pale² (π vaut environ 3,14), en comptant la longueur de pale depuis l'axe, moyeu compris :

En partant d'un Cp optimiste de 0,4, le produit Cp × 0,5 vaut 0,2 :

Deux exemples hypothétiques, avec Cp = 0,4 et une puissance à l'arbre de 1 000 W : dans l'air à 8 m/s (1,25 kg/m³), la longueur de pale est d'environ 1,58 m ; dans l'eau à 2 m/s (1 000 kg/m³), d'environ 0,45 m. La puissance électrique disponible sera plus faible, car il faut encore retrancher les pertes du générateur et de la transmission.

Que ce soit pour une éolienne ou pour une hydrolienne, nous savons donc maintenant évaluer la longueur de pale en fonction de l'énergie recherchée et de l'énergie du fluide. Il nous reste à combiner la vitesse de rotation et la vitesse du fluide : c'est le point de fonctionnement de notre hélice.

4 : Un conduit permet-il de dépasser la limite de Betz ?

Petit intermède : est-il possible de dépasser la limite de Betz ? En empêchant le contournement de l'hélice grâce à un conduit qui l'entoure, certains dispositifs semblent la dépasser, chiffres à l'appui. Mais cet artifice repousse le contournement, donc la limite de Betz, au début du conduit.

Le rendement de l'hélice est Cp = puissance à l'arbre (W) / (0,5 × masse volumique (kg/m³) × vitesse du fluide (m/s)³ × surface du disque (m²)). Si quelqu'un vous annonce un rendement supérieur à 0,59, vérifiez que la surface du disque correspond à la surface réellement captée, et non à la surface balayée par l'hélice placée au bout du cône d'entrée.

Un autre artifice consiste à aspirer le bouchon formé à l'arrière de l'hélice, grâce à des anneaux profilés qui utilisent de l'énergie extérieure à la veine de fluide pour créer une dépression derrière l'hélice. La surface réellement captée est là aussi modifiée. Les meilleures hélices ne dépassent pas 70 à 80 % de la limite de Betz.

Ces systèmes carénés ont pourtant leur avantage : ils réduisent les pertes en bout de pale et augmentent le rendement de l'hélice, mais jamais au-dessus de la limite de Betz. Le gain qu'apporte un carénage doit être comparé à son coût de fabrication supplémentaire. Souvent, avec la matière ajoutée, nous pourrions augmenter le diamètre de l'hélice, donc la puissance globale du système.

Pour aller plus loin, nous pouvons tracer le plan de pale d'une éolienne et vérifier la vitesse de vent du site avec la page sur la puissance d'une éolienne selon la vitesse du vent. Nous pouvons aussi relier ce bilan d'énergie au générateur d'éolienne qui absorbera la puissance de l'arbre.