Optimisation de la vitesse de rotation et du nombre de pales d'une hélice : propulsion, éolienne, turbine

Optimiser la vitesse de rotation et le nombre de pales d'une hélice, c'est chercher le régime où ses profils travaillent à leur meilleure finesse, sans que les pales se gênent entre elles. Pour une hélice de propulsion, une éolienne ou une turbine, la vitesse de rotation qui donne le meilleur rendement dépend du nombre de pales : il faut donc chercher les deux ensemble. Heliciel le fait par une recherche itérative depuis l'onglet 3 : Optimiser, et l'analyse multiple prend le relais pour une étude plus complète.

Au sommaire :

• 1 : Quels paramètres déterminent la vitesse de rotation optimale d'une hélice ?
• 2 : Hélice de propulsion : tourner vite pour perdre moins de rotation du fluide
• 3 : Hélice d'éolienne ou d'hydrolienne : capter l'énergie avec peu de pales
• 4 : Les limites de la vitesse de rotation : masquage, cavitation, son, contraintes, traînée
• 5 : Vitesse imposée par la machine et choix du nombre de pales
• 6 : Optimiser la vitesse de rotation et le nombre de pales dans Heliciel

L'onglet 3 : Optimiser : le rendement en fonction de la vitesse de rotation, pour un nombre de pales donné.

Une recherche rapide de la vitesse optimum pour une géométrie donnée s'exécute depuis cet onglet : si vous le désirez, Heliciel calcule automatiquement la vitesse de rotation qui offre le rendement optimum d'une hélice dont vous avez déterminé la géométrie.

Pour une analyse plus complète, on utilise l'analyse multiple, qui offre de nombreuses options d'affichage et de test des performances. Quand l'hélice est couplée à un moteur électrique ou à un générateur, sa vitesse de rotation réelle est celle qui équilibre le couple moteur et le couple résistant. Pour savoir à quelle vitesse tournera le système, il suffit de superposer les courbes de couple en fonction de la vitesse de rotation.

Les hélices de propulsion d'air ou d'eau et les hélices de captage (éoliennes, hydroliennes) seront traitées indifféremment, pour l'instant.

1 : Quels paramètres déterminent la vitesse de rotation optimale d'une hélice ?

Nous supposerons d'abord que nous avons le choix de la vitesse de rotation de l'hélice, et que nous cherchons celle qui donne le meilleur rendement. Voici un petit résumé de la situation.

Le vent apparent perçu par les éléments de pale se compose de la vitesse de rotation et de la vitesse du fluide. Nous ne parlons pas ici de la vitesse induite, mais bien sûr elle doit être prise en compte. Le rendement d'une hélice est celui de ses éléments, que l'on peut comparer à des portions d'aile tournante. Le meilleur rendement d'un élément s'obtient quand son rapport portance/traînée, la finesse, est le plus élevé possible. La meilleure finesse correspond à une incidence bien précise, et c'est elle qui détermine le vrillage de notre pale.

Les vecteurs de vent apparent de chaque élément de pale, dans Heliciel : plus on s'éloigne de l'axe, plus le vecteur est long et incliné vers le plan de rotation.

Notre pale est donc vrillée pour que l'angle entre la corde des profils et la direction de la vitesse réelle corresponde à l'incidence qui donne la plus grande finesse du profil. La portance des profils est la force utile que nous exploitons.

La portance est perpendiculaire au vent apparent, mais la force qui nous intéresse est la poussée (pour une hélice de propulsion) ou le couple (pour une hélice motrice comme une éolienne). Si la direction de la portance est alignée avec cette force, nous pouvons supposer que le rendement sera optimum. En faisant varier la vitesse de rotation, nous modifions la direction du vent apparent, donc celle de la portance. Il existe donc, a priori, une vitesse de rotation qui oriente au mieux les forces de portance.

À gauche, portance et poussée sur une hélice propulsive ; à droite, portance et couple sur une hélice d'éolienne.

2 : Hélice de propulsion : tourner vite pour perdre moins de rotation du fluide

Pour une hélice destinée à la propulsion, la portance et la traînée doivent donner le maximum de poussée pour le minimum de couple. Plus la vitesse de rotation est élevée, plus la vitesse apparente perçue par les éléments s'oriente dans le plan de rotation, et plus la portance est dirigée dans le sens de la poussée désirée. Du point de vue de l'orientation des forces, la vitesse de rotation optimum d'une hélice de propulsion serait donc la vitesse maximale, infinie ? Non : il y a une limite au-delà de laquelle le rendement de l'hélice baisse.

Un moteur à hélices contrarotatives (le logo CFM est visible sur la nacelle). La seconde hélice redresse en partie la rotation que la première donne à l'air, ce qui récupère de l'énergie ; la page sur l'hélice contrarotative détaille ce principe.

Une autre approche, par le bilan d'énergie entre l'amont et l'aval de l'hélice, montre l'intérêt d'un faible nombre de pales et d'une grande vitesse de rotation. L'effet de propulsion recherché est lié, par réaction (principe de Newton), à l'accélération que l'hélice donne au fluide. Mais attention : seule l'accélération axiale produit une poussée. L'accélération tangentielle, c'est-à-dire la mise en rotation du fluide, ne produit aucune poussée ; elle ne produit que du couple sur l'arbre. La rotation du fluide en aval de l'hélice est de l'énergie perdue. Deux hélices de poussée égale se distinguent donc par leur capacité à produire le minimum de rotation du fluide en aval.

La puissance fournie à l'arbre est égale au couple multiplié par la vitesse de rotation : P (W) = couple (N·m) × vitesse de rotation (rad/s). Par réaction au couple, le fluide est mis en rotation en aval de l'hélice (c'est l'induction tangentielle aval d'Heliciel). À même puissance, une grande vitesse de rotation correspond donc à un couple faible. Ce couple étant directement lié à la mise en rotation du fluide, nous pouvons dire qu'à puissance égale à l'arbre, l'hélice qui tourne le plus vite génère le moins de rotation du fluide.

Une hélice équipée de pales profilées pour les grandes vitesses, avec une faible traînée, serait donc optimum. Mais la vitesse de rotation est limitée par d'autres effets indésirables (voir plus bas), comme l'effet de masquage, qui nous amène à une hélice théorique optimum monopale. Nous disons « théorique » parce que l'équilibrage en rotation doit être géré au niveau mécanique.

Une hélice de propulsion monopale, avec son contrepoids pour l'équilibrage.

La « meilleure » hélice n'existe pas : tout reste affaire de compromis, et chaque application doit inventer l'hélice qui réalise le meilleur compromis.

3 : Hélice d'éolienne ou d'hydrolienne : capter l'énergie avec peu de pales

Pour une hélice d'éolienne ou d'hydrolienne, c'est un peu plus délicat. Dans un premier temps, nous pourrions penser que ce que nous recherchons, c'est du couple. La meilleure orientation de la portance serait alors perpendiculaire au vent, pour être entièrement consacrée au couple. La vitesse apparente devrait donc être parallèle à l'axe de l'hélice, c'est-à-dire uniquement composée de la vitesse du fluide. La vitesse de rotation optimum serait nulle : hélice arrêtée.

Pour capter toute l'énergie du fluide qui traverse le disque balayé par une hélice « arrêtée », il faudrait des pales sur tout le disque, et il resterait encore des trous. Les éoliennes de pompage, qui recherchent du couple pour faire fonctionner des machines lentes par faible vent, suivent cette démarche. Les plus modernes utilisent l'interaction entre les pales, comme les voiles d'un voilier, pour améliorer le rendement. D'après nos estimations, même les meilleures hélices de pompage de ce type ne récupèrent que 15 % de l'énergie du vent.

Une éolienne multipale à fort couple, comme les machines de pompage : beaucoup de pales, une vitesse de rotation faible.

Une autre approche, par le bilan d'énergie entre l'amont et l'aval de l'hélice de captage, montre l'intérêt d'un faible nombre de pales et d'une grande vitesse de rotation :

• Pensons en termes de puissance : P (W) = couple (N·m) × vitesse de rotation (rad/s).
• Quand on capte l'énergie cinétique d'un fluide avec une hélice, on transforme cette énergie en couple sur l'arbre.
• Par réaction au couple généré (principe de Newton), le fluide est ralenti mais aussi mis en rotation (induction tangentielle).
• Le bilan d'énergie entre l'amont et l'aval traduit l'énergie captée, donc le rendement de l'hélice. L'hélice de captage de rendement optimum est donc celle qui laisse le moins d'énergie en aval.
• L'énergie non captée en aval se compose de la vitesse axiale restant au fluide (dans la limite de Betz) et de la vitesse tangentielle induite par réaction au couple. Pour deux hélices dont la vitesse axiale aval est équivalente, celle qui capte le plus d'énergie est celle qui induit le moins de vitesse tangentielle, donc celle qui produit le moins de couple. Pour obtenir la même puissance avec un couple faible, l'hélice doit tourner plus vite.
• Pour ne pas perdre d'énergie par effet de masquage entre pales (voir plus bas) aux grandes vitesses de rotation et par faible vitesse de vent, le plus faible nombre de pales possible est le plus efficace pour atteindre la plus grande vitesse de rotation possible.

Le rendement de notre hélice d'éolienne est donc optimum à vitesse de rotation élevée. Les hélices monopales exploitent cette option, en estimant que le prix d'une seule pale est une économie certaine. Ce type d'hélice est bon en théorie, mais en pratique il implique des déséquilibres et des vitesses de rotation délicats à gérer.

Une éolienne monopale : une seule pale, donc un contrepoids et un équilibrage à soigner.

4 : Les limites de la vitesse de rotation : masquage, cavitation, son, contraintes, traînée

Nous pourrions donc dire que plus l'hélice tourne vite, meilleur est son rendement. Mais jusqu'à quelle limite ? Voici les causes principales qui limitent les vitesses de rotation élevées :

• L'interaction entre les pales (effet de masquage). À faible vitesse de rotation, le vent apparent est éloigné du plan de rotation ; quand la vitesse augmente, il se « couche » dans ce plan. À très grande vitesse de rotation, le vent apparent ne « voit » plus de passage entre les pales si elles sont trop rapprochées. La perturbation générée par les pales fait alors chuter le rendement : le nombre de pales fait chuter le rendement aux vitesses de rotation élevées.

Le vent apparent selon la vitesse de rotation : à rotation nulle il est dans l'axe, à rotation adaptée il passe entre les profils, à rotation trop rapide il se couche contre le plan de rotation et ne trouve plus de passage.

• La cavitation, pour une hélice qui évolue dans un liquide, bien entendu.

La cavitation en tunnel : les bulles se forment juste après le bord d'attaque de la pale.

• La vitesse du son. La vitesse apparente en bout de pale doit être surveillée. Aux vitesses proches de celle du son, les performances des profils aérodynamiques se modifient et des phénomènes apparaissent, qui conduisent à ne pas dépasser cette vitesse. Des essais d'hélices supersoniques laissent entendre qu'il serait possible de la dépasser, mais les bruits et les chocs supersoniques restent complexes à gérer.

Le XF-88B, un avion d'essai pour hélices supersoniques.

• La force centrifuge et la poussée appliquent des contraintes mécaniques aux pales. La force centrifuge peut servir à compenser la poussée, en donnant une conicité aux hélices ; mais les matériaux utilisés obligent parfois à limiter les vitesses de rotation. Certains constructeurs affirment que la durée de vie d'une éolienne est inversement proportionnelle à sa vitesse de rotation (affirmation que nous rapportons sans l'avoir vérifiée).

Une éolienne en flammes : les limites mécaniques ne sont pas théoriques.

• La traînée des profils augmente elle aussi avec le carré de la vitesse apparente. Aux grandes vitesses, le couple négatif engendré par la traînée des profils entame le rendement de manière significative.

Couple et traînée sur une petite éolienne, dans l'onglet Prototype 3D d'Heliciel.

5 : Vitesse imposée par la machine et choix du nombre de pales

Nous avions supposé que la vitesse de rotation de notre hélice ne nous était pas imposée, mais les facteurs qui limitent le rendement sont vite atteints. Un des facteurs clés étant l'interaction entre les pales, optimiser la vitesse de rotation passe par la recherche du nombre de pales optimum.

Une autre contrainte impose la vitesse de rotation : la machine connectée à l'arbre. Un alternateur, une pompe, un moteur d'avion ou de ventilation possède des caractéristiques que l'hélice doit respecter. La vitesse de rotation et le couple peuvent donc être imposés par la machine. Si l'écart entre la vitesse optimum de l'hélice et celle de la machine est trop grand, il faut installer un réducteur. Cela diminue le rendement et augmente le coût, le poids et la maintenance du système. Pour adapter la vitesse et le couple d'une hélice à la machine, nous pouvons jouer sur les paramètres géométriques des pales, mais le nombre de pales nous aide à modifier la vitesse optimum de manière assez simple.

Le nombre de pales augmente le couple et abaisse la vitesse de rotation optimum. Nous pouvons donc régler la vitesse optimum en augmentant ou en diminuant le nombre de pales. Pour préserver le rendement, nous devons tout de même modifier la géométrie des pales afin de diminuer leur interaction. Quand le nombre de pales augmente, la charge par pale diminue, et l'épaisseur des pales peut être réduite puisqu'elles n'ont plus besoin de fournir autant de résistance.

Ces indications sont des pistes : il n'y a pas de recette miracle pour optimiser la vitesse de rotation, et un compromis est toujours à faire. Le petit article sur le nombre de pales de l'hélice de propulsion peut aussi vous donner quelques pistes.

6 : Optimiser la vitesse de rotation et le nombre de pales dans Heliciel

À chaque modification de la géométrie de la pale, si vous cliquez sur reconstruire, Heliciel reconstruit le vrillage optimum de l'hélice et actualise les performances au point de fonctionnement imposé. La vitesse de rotation choisie détermine le vrillage. Mais, pour les raisons évoquées plus haut, cette vitesse n'est peut-être pas optimum. Les paramètres d'optimisation de la vitesse de rotation sont nombreux et interagissent de telle manière qu'il est très complexe d'établir une loi valide pour toutes les hélices.

Pour trouver la vitesse de rotation optimum, Heliciel propose une recherche itérative. Une plage de vitesses de rotation est testée, les vrillages de l'hélice sont recalculés, et les performances de chaque vitesse s'affichent dans un graphique. Quand le rendement maximum est obtenu, l'hélice est actualisée à la vitesse de rotation optimum. L'optimisation en rendement donne l'hélice la plus économe en énergie ; c'est un point de départ pour l'étude. Les contraintes d'implantation nous forceront peut-être à nous écarter de la vitesse optimum, mais nous garderons un œil sur la qualité de l'hélice grâce à son rendement.

Une seconde procédure optimise le nombre de pales. Heliciel procède par itérations de vitesse de rotation : il cherche d'abord le rendement maximum de l'hélice avec un minimum de pales, puis augmente le nombre de pales et cherche à nouveau le rendement maximum. Tant que le rendement maximum augmente, le nombre de pales augmente. Quand le rendement maximum est trouvé, la procédure s'arrête et l'hélice est reconstruite avec le nombre de pales optimum, à la vitesse de rotation optimum.

Hélices propulsives, ventilateurs, hélicoptères. Le rendement propulsif d'une hélice est nul quand le fluide en amont a une vitesse nulle, ce qui est le cas d'une hélice à l'arrêt ou en vol stationnaire. Pour pouvoir optimiser les vitesses de rotation de toutes les hélices propulsives, l'optimisation se fait donc en termes de rendement cinétique : la procédure s'arrête sur la vitesse de rotation qui offre le meilleur rendement cinétique.

L'onglet Optimiser pour une hélice à deux pales : la courbe du rendement en fonction de la vitesse de rotation, le résultat de la recherche (rendement cinétique maximal de 0,861 à 200 tr/min), les réglages du nombre de pales, la détection de cavitation et le bouton Analyse multiple.

Hélices motrices, aéromoteurs, éoliennes, hydroliennes. La procédure s'arrête sur la vitesse de rotation qui offre le meilleur coefficient de puissance (Cp), c'est-à-dire le rapport entre la puissance à l'arbre de l'hélice et la puissance cinétique du fluide. Le graphique ci-dessous montre l'évolution du coefficient de puissance en fonction de la vitesse de rotation, avec une ligne rouge pour la limite de Betz (16/27, soit 0,593). Dans cet exemple, la vitesse de rotation optimum offre un Cp de 0,557 pour une hélice à 3 pales à 1 050 tr/min, proche de la limite de Betz.

Le coefficient de puissance d'une hélice d'éolienne à 3 pales en fonction de la vitesse de rotation : le maximum (Cp = 0,557) est atteint à 1 050 tr/min, sous la limite de Betz.

Cette performance devra malheureusement être amputée des frottements des roulements, des pertes du générateur, du redresseur, d'un éventuel multiplicateur, des batteries et des pertes de lignes. Si nous parvenons au final à extraire 30 à 50 % de la limite de Betz pour produire de l'énergie, ce sera déjà bien. N'oublions pas qu'une fois l'éolienne ou l'hydrolienne construite, l'énergie du vent ou des courants ne coûte rien.

Pour aller plus loin, nous pouvons passer à l'analyse multiple des points de fonctionnement, qui offre de nombreux affichages de performances et d'options de test. Quand l'hélice est couplée à un moteur électrique ou à un générateur, la vitesse de rotation réelle est celle qui équilibre le couple moteur et le couple résistant : la superposition des courbes de couple donne cette vitesse. Nous pouvons aussi lire la page sur le point de fonctionnement de l'hélice pour voir comment la vitesse de rotation et la vitesse du fluide fixent le vrillage.