Vitesse induite d'une hélice : ce que la pale voit vraiment

La vitesse induite est la modification de vitesse que l'hélice imprime elle-même au fluide, en amont comme en aval de ses pales. Elle a deux composantes, l'une le long de l'axe, l'autre dans le sens de rotation. Comme elle change l'angle sous lequel le fluide arrive sur chaque profil, le calcul du vrillage de la pale doit en tenir compte. Il n'est pas nécessaire de maîtriser cette notion pour utiliser Heliciel, mais elle aide à comprendre ce que calcule le logiciel.

Au sommaire :

• D'où vient la vitesse induite
• Deux situations pour la voir
• Ce que le profil voit vraiment
• Un calcul qui tourne en boucle
• L'induction tangentielle et la cambrure des profils

Cette page donne une première approche ; les formules détaillées se trouvent dans les théories de calcul des hélices.

1 : D'où vient la vitesse induite

Quand le fluide traverse l'hélice, les profils dévient sa trajectoire. C'est le principe de l'action et de la réaction : la poussée que le fluide exerce sur l'hélice, l'hélice l'exerce sur le fluide ; le couple que le fluide exerce sur la pale, la pale l'exerce sur le fluide. Le fluide change donc de vitesse et de direction. On distingue :

• l'induction axiale, le long de l'axe de rotation, notée Wa ;
• l'induction tangentielle, dans le plan de rotation, notée Wt.

On l'exprime souvent par des facteurs d'induction sans unité : le facteur axial a s'applique à la vitesse du fluide V, le facteur tangentiel a' à la vitesse de rotation Ω r. Ils donnent respectivement la vitesse induite axiale (a × V) et la vitesse induite tangentielle (a' × Ω r).

2 : Deux situations pour la voir

• Un avion arrêté sur la piste, moteur en marche. Loin devant l'hélice, l'air est immobile. Pourtant, juste devant les pales, un courant d'air bien réel est aspiré dans l'hélice, au point d'être dangereux pour qui s'en approche. Ce courant d'air est induit par l'hélice : elle accélère le fluide et l'entraîne dans son sens de rotation.
• Une éolienne. L'air qui arrive devant le rotor est freiné. L'hélice forme un bouchon plus ou moins « poreux », que le vent contourne en partie par les bords. C'est de là que vient la limite de Betz : une éolienne ne peut pas capter plus de 16/27, soit 59,3 %, de l'énergie du vent qui traverse son disque. Le sillage, lui, tourne en sens inverse du rotor.

Si l'on calculait la vitesse vue par les pales de l'avion arrêté avec la seule vitesse de rotation et la vitesse de l'air loin en amont, on ne trouverait aucune composante axiale. Le profil travaillerait alors à une incidence fausse : c'est pourquoi le vrillage se calcule avec les vitesses induites.

3 : Ce que le profil voit vraiment

L'induction se fait sentir en aval de l'hélice, mais aussi en amont : le profil agit sur le fluide avant même de le toucher. Au plan de l'hélice, la vitesse induite axiale vaut la moitié de celle du sillage lointain. La vitesse réellement perçue par le profil diffère donc de la vitesse apparente calculée sans induction :

Les deux schémas suivants placent ces vitesses sur un profil : Wa et Wt sont les vitesses induites axiale et tangentielle, W leur résultante. Vr est la vitesse relative calculée sans induction, Ve la vitesse effective que voit le profil une fois W ajoutée. β est le calage et α l'incidence.

Hélice en mode éolienne : vitesses, angles et efforts sur un profil.

Hélice propulsive : vitesses, angles et efforts sur un profil.

4 : Un calcul qui tourne en boucle

La difficulté vient de ce que tout dépend de tout. L'induction est provoquée par la portance et la traînée des profils ; mais la portance et la traînée dépendent de l'incidence, que l'induction modifie. Il faut donc résoudre ensemble les équations des efforts sur les profils et celles de la quantité de mouvement du fluide, pour une vitesse amont et une vitesse de rotation données.

Heliciel évalue l'induction par la méthode des éléments de pale couplée à la quantité de mouvement (BEM, Blade Element Momentum), avec les pertes en bout de pale. Pour chaque élément, il procède par itérations (méthode de Newton) jusqu'à ce que les équations convergent.

5 : L'induction tangentielle et la cambrure des profils

L'induction tangentielle a aussi un effet sur la forme du profil. Elle croît à travers la pale, du bord d'attaque au bord de fuite, puis double dans le sillage : la trajectoire du fluide se courbe en traversant la pale. Cette courbure change la cambrure du profil vue par le fluide. Pour garder sa cambrure théorique, le profil réel doit donc être déformé selon cette trajectoire courbe.

Pied de pale d'un ventilateur axial : triangles des vitesses, trajectoire courbée par l'induction tangentielle, profil nominal (à gauche) et profil corrigé (à droite).

Même correction au pied d'une pale d'hydrolienne.

Pour aller plus loin, nous pouvons voir comment ces vitesses entrent dans les théories de calcul des hélices, ou revenir sur la vitesse et l'angle apparents.