L'évolution des méthodes de calcul d'hélice s'est faite en trois temps : la quantité de mouvement (Rankine, 1865), l'élément de pale (Froude, puis Drzewiecki) et la théorie tourbillonnaire (Joukowski, 1912). Heliciel associe aujourd'hui ces trois approches : éléments de pale, quantité de mouvement et pertes tourbillonnaires.

Chaque invention s'appuie sur l'observation, mais aussi sur celles de nos prédécesseurs. S'asseoir sur les épaules des géants, c'est utiliser le savoir de ses pairs et de ses pères : prenons donc un peu de hauteur, et un peu de temps, pour lire ce résumé historique et sa bibliographie. Un article sur l'histoire plus générale de l'hélice est aussi consultable.

Au sommaire :

• L'hélice, une vis qui avance dans le fluide
• Théorie de la quantité de mouvement (Rankine, Froude, Betz)
• Théorie de l'élément de pale (Froude, Drzewiecki)
• Théorie tourbillonnaire de l'hélice (Joukowski, Prandtl, Goldstein)
• La méthode de calcul d'hélice d'Heliciel

1 : Le calcul d'hélice à l'origine : une vis qui avance dans le fluide

À l'origine, on considérait l'hélice comme une vis, qui progresse dans un fluide comme une vis dans le bois ou le métal. Pour une vis, l'avance par tour est exactement égale au pas.

Une vis d'Archimède : la pale hélicoïdale qui a inspiré les premières hélices.

On pensait alors que le rendement de l'hélice vaudrait 100 %, comme celui d'une vis sans frottement. Prenons un vérin à vis : le travail pour tourner la vis égale celui pour soulever la charge. Pour l'hélice assimilée à une vis, le travail fourni par le moteur égalerait de même le travail pour « tirer » l'avion, au frottement près.

Mais le fluide « cède » derrière l'hélice. Elle « recule » donc par rapport à la position qu'elle occuperait dans un solide, et son rendement est inférieur à 1. Le travail utile par tour est le produit de la poussée par l'avance réelle de l'hélice pendant ce tour.

Cette observation conduit à deux notions que nous retrouvons sur la page du pas d'hélice : le pas géométrique, que porte la pale, et le pas effectif, que l'hélice parcourt réellement. L'écart entre les deux, le glissement, mesure la façon dont le fluide cède. Voilà, en quelque sorte, la première théorie de l'hélice. Elle dit pourquoi le rendement est inférieur à 1, mais elle ne le calcule pas, et elle ne dit rien de la forme de la pale.

2 : Théorie de la quantité de mouvement (Rankine, Froude, Betz)

Rankine va plus loin en 1865. Il établit que l'action de l'hélice se caractérise par l'accélération de la masse de fluide qui la traverse. La variation de la quantité de mouvement par unité de temps est alors égale à la poussée. Il montre aussi que l'accroissement de vitesse du fluide doit rester faible pour un bon rendement. Il semblait donc intéressant d'augmenter indéfiniment le diamètre de l'hélice.

Que dit cette théorie en pratique ? Remplaçons l'hélice par un disque, dit disque actuateur, qui accélère le fluide de la vitesse d'avance V0 à une vitesse Ve dans le sillage. Avec ρ la masse volumique du fluide (kg/m³), A l'aire du disque (m²) et Vd la vitesse du fluide au travers du disque (m/s), la poussée vaut :

T = ρ A Vd (Ve − V0)

La vitesse au travers du disque est la moyenne des vitesses amont et aval : Vd = (V0 + Ve) / 2. Le rendement idéal, appelé rendement de Froude, s'écrit donc :

η = T V0 / (T Vd) = V0 / Vd = 2 V0 / (V0 + Ve)

Ce rendement tend vers 1 quand Ve se rapproche de V0. Pour une même poussée, il faut alors brasser beaucoup de fluide à peine accéléré, donc un grand disque. C'est la raison pour laquelle Rankine concluait qu'il y avait intérêt à agrandir le diamètre de l'hélice, et pourquoi une grande hélice qui tourne lentement est plus efficace qu'une petite qui tourne vite. Vous trouverez le détail sur la page théorie de Froude des hélices de traction.

Telle est la théorie de la « quantité de mouvement ». Elle chiffre un rendement idéal, puisqu'elle fournit la poussée. Mais elle n'explique pas comment cette poussée passe du fluide à l'hélice, ni comment la puissance du moteur passe à l'hélice puis au fluide. Autrement dit, elle traite l'hélice comme une boîte noire.

Rankine a ensuite tenté d'y intégrer le frottement des pales et l'interaction avec les volumes voisins. C'est surtout Froude, en 1889, qui l'a enrichie. Betz l'a fait progresser encore en introduisant la rotation du courant liée à l'hélice : derrière une hélice, le fluide ne va pas seulement vers l'arrière, il tourne aussi, et l'énergie de cette rotation est perdue. Même ainsi, la théorie de la quantité de mouvement évalue très bien la traction et le rendement, mais ne dit rien de la forme de pale correspondante. Le même raisonnement, appliqué à une éolienne ou à une hydrolienne qui extrait l'énergie du fluide au lieu de lui en donner, conduit à la limite de Betz, 16/27 de la puissance du vent (environ 59 %), qui s'applique aux hélices captrices.

3 : Théorie de l'élément de pale (Froude, Drzewiecki)

En 1878, William Froude avait entrevu une autre voie, celle de l'élément de pale, fondée sur les forces que subissent les pales dans leur mouvement. Quelques années plus tard, Drzewiecki l'a développée dans sa « Théorie générale de l'hélice » pour en faire la véritable théorie de l'élément de pale. La « géométrie » de la pale y apparaît : elle est divisée en nombreux éléments perpendiculaires au rayon. Chaque élément est un profil qui avance à la vitesse résultante de la vitesse d'avancement et de la vitesse tangentielle. Cette présentation résume le livre L'hélice de Jean Grampaix (Argenson, Paris, 1966).

Voici comment fonctionne cette méthode. À un rayon r donné, l'élément de pale tourne à la vitesse tangentielle ω r (ω étant la vitesse angulaire, en rad/s) et avance à la vitesse V0. Il reçoit donc le fluide à la vitesse apparente résultante de ces deux composantes, sous un angle apparent qui dépend de leur rapport. L'écart entre cet angle et le calage du profil donne l'incidence, c'est-à-dire l'angle sous lequel le profil attaque le fluide. À partir de cette incidence et de la vitesse apparente, les polaires du profil (portance et traînée) donnent la force exercée sur l'élément. Il suffit alors de la projeter dans l'axe de l'hélice pour obtenir la poussée, et dans le plan de rotation pour obtenir le couple. Une intégration le long de la pale, puis une multiplication par le nombre de pales, donnent les efforts totaux.

La couverture de l'ouvrage de S. Drzewiecki, publié en 1920, qui expose la théorie de l'élément de pale.

Dans son avant-propos, Drzewiecki explique que sa théorie, étendue aussi aux moulinets à air, a prévu des phénomènes nouveaux que l'expérience a confirmés. Il a pu la valider grâce à des essais réalisés au laboratoire aérodynamique d'Auteuil de Gustave Eiffel.

Une hypothèse concurrente voyait l'hélice refouler un cylindre de fluide continu, ayant pour base le disque balayé. Drzewiecki défendait l'inverse : chaque pale agit comme une planchette inclinée dans un courant. Elle dévie une couche de fluide qui se déplace avec elle, de sorte que le fluide entre deux pales subit peu de perturbation. Il estimait que les deux conceptions s'excluent.

Les mesures de vitesse faites jusque-là semblaient donner raison au cylindre continu. Il les explique ainsi : les anémomètres et les manomètres à tube de Pitot ont de l'inertie. Ils ne suivent pas les changements rapides de vitesse au passage de chaque pale et n'indiquent qu'un régime moyen, alors que le mouvement réel est une suite de pulsations rapides. Son appareil, conçu pour écarter l'influence de l'inertie, a montré que le flux provoqué par une pale se déplace avec elle.

La méthode de l'élément de pale a une force et une limite. Sa force est de relier la forme de la pale (corde, calage, profil) aux performances, ce que la quantité de mouvement ne sait pas faire. Sa limite est qu'elle suppose que chaque élément reçoit le fluide à la vitesse de l'écoulement non perturbé, sans tenir compte de l'influence des autres éléments et des autres pales. C'est la théorie tourbillonnaire qui a corrigé ce point.

4 : Théorie tourbillonnaire de l'hélice (Joukowski, Prandtl, Goldstein)

Après l'élément de pale vient, en 1912, la théorie tourbillonnaire de l'hélice propulsive de Joukowski. Chaque pale y est assimilée à un tourbillon attaché, dont la circulation varie le long de la pale. Cette variation produit une nappe de tourbillons libres, issus de chaque élément de pale. Cette théorie combine les deux précédentes, quantité de mouvement et élément de pale. Elle a été perfectionnée par Betz et Helmbold, von Kármán, Biénen, Wood et Glauert, Pistolesi, Lanchester, Prandtl, Moriya et Kawada.

Pourquoi des tourbillons ? Une aile qui porte crée autour d'elle une circulation de fluide, et le théorème de Kutta-Joukowski relie la portance à cette circulation. Quand la circulation change le long de la pale, la différence s'échappe dans le sillage sous forme de tourbillons libres, qui forment une hélice autour de l'axe. Ces tourbillons induisent à leur tour une vitesse supplémentaire sur la pale elle-même : c'est la vitesse induite, qui modifie l'angle d'attaque réel de chaque élément. La théorie tourbillonnaire permet de calculer cet effet, là où l'élément de pale seul l'ignore. Pour une hélice, la vitesse apparente et l'angle apparent sont donc ceux de l'écoulement perturbé, et non ceux de l'écoulement non perturbé.

Prandtl a proposé pour l'aile portante un modèle équivalent, la théorie de la ligne portante. Pour l'hélice, il en a tiré une correction dite « de bout de pale », qui tient compte du nombre fini de pales : avec peu de pales, le fluide s'échappe entre elles près du bout, et la poussée y chute.

La couverture du « Développement moderne de la théorie de l'hélice » de Raymond Siestrunck (1947).

Siestrunck, dans l'introduction de cet ouvrage, retrace ainsi l'histoire. Les premières méthodes traitent l'hélice comme une turbine : une série d'éléments sans interaction, chacun recevant un fluide à la vitesse résultante des vitesses d'avancement et de rotation. Chaque élément dévie l'écoulement, et la poussée et le couple élémentaires se déduisent des théorèmes de la quantité de mouvement et du moment cinétique. L'intégration le long de la pale donne les efforts totaux.

D'autres méthodes appliquent à chaque élément les lois expérimentales de la résistance des fluides. Ici se placent Redtenbacher (1875) et William Froude (1878), exposés dans la Théorie générale de l'hélice de Drzewiecki (Gauthier-Villars, 1920). La théorie de Froude (1889), sur une base différente, relie directement poussée et puissance au sillage. Elle suppose une vitesse de souffle uniforme sur le disque, ce qui revient à un saut de pression de part et d'autre de ce disque.

Il faut attendre 1912 et les premiers mémoires de Joukowski pour relier ces théories. L'importance des émissions tourbillonnaires dans les échanges d'énergie est démontrée, et la connaissance du sillage a beaucoup progressé depuis les expériences de Flamm (1909). Joukowski applique encore à chaque élément les résultats expérimentaux des surfaces portantes, mais en tenant compte de l'interaction des autres éléments. La « circulation », qui caractérise la portance de chaque élément, fait le lien par le théorème qui porte son nom. Ses travaux ne concernaient que des hélices à circulation constante le long de la pale. Ils devançaient pourtant ceux de l'école de Göttingen (Prandtl et Betz). À la mort de Joukowski, en 1921, le problème de l'hélice était entièrement posé.

La suite a rencontré plus de difficultés que pour l'aile portante de Prandtl, et son développement a été moins brillant. Les vitesses additionnelles du sillage ne s'évaluent pas simplement pour une hélice, et les difficultés mathématiques bloquent la théorie, sauf cas particuliers. On a néanmoins mis au point des solutions approchées, de deux sortes.

• Le problème d'adaptation : déterminer la forme d'un propulseur répondant à des performances imposées. Le travail de Goldstein (1929) en donne, dans le champ de validité de la théorie, une solution rigoureuse.
• Le problème inverse : déterminer les performances d'un propulseur donné, et celles de la famille qu'on en déduit en faisant varier le pas. Ces calculs sont au moins aussi compliqués que ceux des ailes (Glauert, Lotz), mais ils peuvent être rendus assez maniables pour confronter théorie et mesures en soufflerie.

Le calcul d'une hélice carénée ou d'une hélice à pas variable suit le même principe : seule change la vitesse apparente reçue par chaque élément, donc les polaires lues dans la base de profils.

Les deux problèmes s'écrivent aujourd'hui très simplement. Vous imposez la poussée ou la puissance voulue, et la méthode cherche la forme de pale : c'est l'adaptation. Ou bien vous imposez la pale, et la méthode calcule ce qu'elle donne à chaque régime et à chaque vitesse d'avance : ce sont les performances. L'ingénieur de 1920 résolvait ces calculs à la main ; l'ordinateur les répète en quelques instants.

Deux corrections complètent la théorie. Celle de Glauert traite les fortes charges, quand le rotor ralentit beaucoup le fluide, et que la quantité de mouvement simple ne tient plus. Celle de Goldstein, qui vaut pour un nombre fini de pales, évalue la répartition de circulation optimale le long d'une pale d'hélice.

5 : La méthode de calcul d'hélice d'Heliciel

Heliciel utilise la méthode des éléments de pale, couplée à la théorie de la variation de quantité de mouvement (Froude). Il intègre les pertes d'après la théorie tourbillonnaire de l'hélice, avec les corrections de Glauert ou de Goldstein pour les cas de charge où la théorie de Froude n'est plus valide.

Autrement dit, Heliciel rassemble ce que cet historique a produit : la méthode de l'élément de pale relie la géométrie aux efforts, la quantité de mouvement fournit le bilan global, et la théorie tourbillonnaire apporte les pertes. Les polaires des profils, mesurées ou calculées, relient la forme de chaque section à ses performances.

Pour aller plus loin, nous pouvons consulter la théorie de l'élément de pale des hélices de traction, la méthode de calcul d'hélice d'Heliciel ou le logiciel de calcul d'hélices et d'ailes.